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<!DOCTYPE html>

<title>Multiplikative Partition</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Multiplikative Partition</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eine multiplikative Partition (auch ungeordnete <a href="Faktorisierung" title="Faktorisierung">Faktorisierung</a>) einer <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>1}" loading="lazy"> ist eine Art, diese Zahl als Produkt natürlicher Zahlen größer als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> darzustellen. Dabei sind zwei Faktorisierungen gleich, wenn jeder Faktor einer Faktorisierung auch in der anderen vorkommt und sie sich nur in der Reihenfolge unterscheiden. Dabei wird die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> selbst auch als Partition von sich selbst betrachtet. Multiplikative Partitionen werden spätestens seit dem Jahre <a href="1923" title="1923">1923</a> erforscht, damals allerdings unter dem <a href="Latein" title="Latein">lateinischen</a> Namen „factorisatio numerorum“. Der heutige Name entstand vermutlich durch einen im Jahre 1983 veröffentlichten Artikel von <a href="Jeffrey_Shallit" title="Jeffrey Shallit">Jeffrey Shallit</a> und John F. Hughes in der Zeitschrift „American Mathematical Monthly“ über dieses Thema.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Die Zahl 20 hat 4 multiplikative Partitionen, nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 20=2\cdot 10=4\cdot 5=2\cdot 2\cdot 5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 20=2\cdot 10=4\cdot 5=2\cdot 2\cdot 5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90bf6c8660dbeadd460bb985d3d68e18292ee252.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:27.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 20=2\cdot 10=4\cdot 5=2\cdot 2\cdot 5}" loading="lazy">.

Die Zahl 30 hat 5 multiplikative Partitionen, nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 30=2\cdot 15=3\cdot 10=5\cdot 6=2\cdot 3\cdot 5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 30=2\cdot 15=3\cdot 10=5\cdot 6=2\cdot 3\cdot 5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0486639cb4eeae05af33fc4c326246077ea2160.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:35.901ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 30=2\cdot 15=3\cdot 10=5\cdot 6=2\cdot 3\cdot 5}" loading="lazy">. Die Zahl 30 ist <a href="Quadratfreie_Zahl" title="Quadratfreie Zahl">quadratfrei</a>.

Die Zahl 81 hat 5 multiplikative Partitionen, nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 81=3\cdot 27=9\cdot 9=3\cdot 3\cdot 9=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 81=3\cdot 27=9\cdot 9=3\cdot 3\cdot 9=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d3502c19834ea1be60d3ace60fc2521a2c1c289.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:40.422ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 81=3\cdot 27=9\cdot 9=3\cdot 3\cdot 9=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}" loading="lazy">. Die Zahl 81 lässt sich als Primzahlpotenz darstellen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{4}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa095843f659070e722e32e92889e8eebcc517b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.217ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 3^{4}}" loading="lazy">

Die Zahl 109 hat nur eine multiplikative Partition, nämlich sich selbst. Sie ist zugleich eine Primzahl.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anzahl">Anzahl</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> die Anzahl aller multiplikativen Partitionen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">. Die ersten Werte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> lauten:

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, 1, … Folge <a href="https://oeis.org/A001055" class="extiw external" title="oeis:A001055">A001055</a> in <a href="On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="On-Line Encyclopedia of Integer Sequences">OEIS</a>

<a href="Percy_Alexander_MacMahon" title="Percy Alexander MacMahon">Percy Alexander MacMahon</a> und A. Oppenheim bemerkten, dass die <a href="Dirichletreihe" title="Dirichletreihe">Dirichletreihen</a>-generierende Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/644b5a9d19add61f865991dcf152e46e6428ff27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(s)}" loading="lazy"> ebenfalls die folgende Produktdarstellung hat:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/febd4953f8f25763395eda57e7f14e0659863849.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:29.09ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialfälle">Spezialfälle</h2></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> <a href="Quadratfreie_Zahl" title="Quadratfreie Zahl">quadratfrei</a> – enthält also keine <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahl</a> mehr als ein Mal in der <a href="Primfaktorzerlegung" title="Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a>, bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (n)\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (n)\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f65917ca2e6c6d421a7be1d72cdf3cbae922b38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.867ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (n)\neq 0}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6412d2052c8e54a65d596a419b429d00fd18d53b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.606ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (n)}" loading="lazy"> für die <a href="M%C3%B6biusfunktion" title="Möbiusfunktion">Möbiusfunktion</a> steht –, so ist die Anzahl der multiplikativen Partitionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{\omega (n)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{\omega (n)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/152c36210eeb157bdc0b3b312c8385a0b79678ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.284ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle B_{\omega (n)}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82cda0578ec6b48774c541ecb9bee4a90176e62f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B_{i}}" loading="lazy"> die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-te <a href="Bellsche_Zahl" title="Bellsche Zahl">Bellsche Zahl</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega (n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9e1e190faf1ba7931e4e98594df6097d297bed1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.65ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega (n)}" loading="lazy"> die Anzahl der einzigartigen Primfaktoren von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ist.

Der zweite Spezialfall setzt voraus, dass die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> das Resultat einer <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Potenz</a> mit einer Primzahl als Basis und mit einem natürlichen <a href="Exponent_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Exponent (Mathematik)">Exponenten</a> ist. Formal:

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists p\in \mathbb {P} ~\exists m\in \mathbb {N} :n=p^{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45e5f01ad16c9b74a8da0a3140dd0cb85476a834.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.43ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \exists p\in \mathbb {P} ~\exists m\in \mathbb {N} :n=p^{m}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1053af9e662ceaf56c4455f90e0f67273422eded.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.42ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} }" loading="lazy"> für die Menge aller Primzahlen steht. Diese Vorbedingung lässt sich auch als <a href="Kongruenz_(Zahlentheorie)" title="Kongruenz (Zahlentheorie)">Kongruenz</a> notieren:

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists p\in \mathbb {P} :n\equiv 0\mod p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e8c0822b9ce851e86c34d9ec1e5d70dcaf6c59f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.747ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \exists p\in \mathbb {P} :n\equiv 0\mod p}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist eine dieser Bedingungen erfüllt – wenn es eine ist, so ist es die andere automatisch auch –, dann ist die Anzahl der möglichen multiplikativen Partitionen gleich wie die <a href="Partitionsfunktion" title="Partitionsfunktion">additive Partition</a> des Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">. Dies ist eindeutig weil es die Primfaktorzerlegung ebenfalls ist.

Der dritte Spezialfall ist der trivialste. Er setzt voraus, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> selbst eine Primzahl ist, also dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {P} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {P} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d2a239d661182bf003803f261d17eae408ea7d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {P} }" loading="lazy"> gilt. Aufgrund der Definition von Primzahlen kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> nur eine Faktorisierung haben, nämlich sich selbst.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung">Anwendung</h2></div>

In ihrem Artikel, den sie im Jahre 1983 veröffentlicht haben, beschrieben <a href="Jeffrey_Shallit" title="Jeffrey Shallit">Jeffrey Shallit</a> und John F. Hughes eine Anwendung multiplikativer Partitionen zur Klassifikation natürlicher Zahlen anhand der <a href="Teilbarkeit" title="Teilbarkeit">Teileranzahl</a>. Beispielsweise:

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall p\in \mathbb {P} ~\forall q\in \mathbb {P} \setminus \left\{p\right\}~\forall r\in \mathbb {P} \setminus \left\{p,q\right\}:\sigma _{0}(p^{11})=\sigma _{0}(p^{5}\cdot q)=\sigma _{0}(p^{3}\cdot q^{2})=\sigma _{0}(p^{2}\cdot q\cdot r)=12}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a18918aa3f1a7c589962d066d1ad56f44635e20a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:90.152ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \forall p\in \mathbb {P} ~\forall q\in \mathbb {P} \setminus \left\{p\right\}~\forall r\in \mathbb {P} \setminus \left\{p,q\right\}:\sigma _{0}(p^{11})=\sigma _{0}(p^{5}\cdot q)=\sigma _{0}(p^{3}\cdot q^{2})=\sigma _{0}(p^{2}\cdot q\cdot r)=12}" loading="lazy"></dd></dl>

Wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> – wie formalisiert – <a href="Paarweise_verschieden" title="Paarweise verschieden">paarweise verschiedene</a> Primzahlen sind, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2f330c7d4a4ee92e5d43dfe3e23f0de3406ec78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{0}}" loading="lazy"> die <a href="Teileranzahlfunktion" title="Teileranzahlfunktion">Teileranzahlfunktion</a> ist und wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/330415aef0a06818b843c55814fda645b793811b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.416ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{k}}" loading="lazy"> die <a href="Teilerfunktion" title="Teilerfunktion">Teilerfunktion</a> wäre. Dieses Beispiel wurde konstruiert aus den multiplikativen Partitionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 12=2\cdot 6=3\cdot 4=2\cdot 2\cdot 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 12=2\cdot 6=3\cdot 4=2\cdot 2\cdot 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8655b4d43cfd9d6512e6f260a55abe5a670d09c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:26.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 12=2\cdot 6=3\cdot 4=2\cdot 2\cdot 3}" loading="lazy">.

Allgemein lässt sich sagen, für jede multiplikative Partition von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> Faktoren (wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b61e3d4d909be4a19c9a554a301684232f59e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.639ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{i}}" loading="lazy"> ein Faktor ist für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq i\leq k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq i\leq k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83de74da899efbafa01ec98ebf478e9ce5679fc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.373ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1\leq i\leq k}" loading="lazy">)

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}t_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fca6c3b651ec0353b70488fccc5589c2c2cf1ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:9.489ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}t_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

gibt es dazugehörig eine Menge natürlicher Zahlen mit genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Teiler. Jede dieser Zahlen hat die Form

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}p_{i}^{t_{i}-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f315d9f9e6b85aff6d3eca2119a903f16f3c447.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:8.077ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}p_{i}^{t_{i}-1}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" loading="lazy"> paarweise verschiedene Primzahlen sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> "<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstor.org/stable/2975729">The American Mathematical Monthly > Vol. 90, No. 7, Aug. - Sep., 1983 > On the Number of Multiplicative Partitions</a>". Abgerufen am 19. Mai 2014

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>